Question

在△ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，b=1，
（1）求tanA+tanC-

3

tanAtanC的值．
（2）求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得B=

π

3

，逆用兩角和的正切即可求得tanA+tanC-

3

tanAtanC的值；
（2）法一：利用正弦定理，可將a+c轉(zhuǎn)化為：a+c=2sin（A+30°）（0°＜A＜120°），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得a+c的取值范圍；
法二：利用余弦定理可得：a²+c²-ac=1⇒（a+c）²=4-3（a-c）²，利用0≤a-c＜1，即可求得1＜a+c≤2．

解答：解：（1）∵A、B、C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=

π

3

，
∴tan（A+C）=tan（π-B）=-tanB=-

3

，
又tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanAtanC

，
∴

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

，
即tanA+tanC=-

3

+

3

tanAtanC，
∴tanA+tanC-

3

tanAtanC=-

3

．
（2）法一：∵b=1，B=

π

3

，
∴由正弦定理：

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

1

3 2

=

2 3

3

得：
a+c=

2 3

3

sinA+

2 3

3

sinC
=

2 3

3

（sinA+sinC）
=

2 3

3

（sinA+sin（120°-A））
=

2 3

3

[sinA+

3

2

cosA-（-

1

2

）sinA]
=

2 3

3

×

3

2

（

3

sinA+cosA）
=2sin（A+30°），
∵0°＜A＜120°，
∴30°＜A+30°＜150°，
∴1＜2sin（A+30°）≤2．
∴a+c的取值范圍是（1，2]．
法二：∵B=60°，b=1，
∴a²+c²-b²=2accos60°，
∴a²+c²-1=ac，
∴a²+c²-ac=1，
∴（a+c）²+3（a-c）²=4，
∴（a+c）²=4-3（a-c）²，
∵0≤a-c＜1，
∴0≤3（a-c）²＜3，
∴4-3（a-c）²≤4，即（a+c）²≤4，
∴a+c≤2，
又a+c＞1，
∴1＜a+c≤2．
∴a+c的取值范圍是（1，2]．

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，著重考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，突出化歸思想與運(yùn)算能力的考查，屬于中檔題．