Question

在一次招聘考試中，有12道備選題，其中8道A類題，4道B類題，每位考生都要在其中隨機抽出3道題回答
（Ⅰ）求某考生至少抽到1道B類題的概率；
（Ⅱ）已知所抽出的3道題中有2道A類題，1道B類題，設(shè)該考生答對每道A類題的概率都是

3

5

，答對每道B類題的概率都是

4

5

，且各題答對與否相互獨立，用X表示該考生答對題的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）利用對立事件，可求某考生至少抽到1道B類題的概率；
（Ⅱ）X所有可能抽到的值為0，1，2，3，求出隨機變量取每一個值的概率值，即可求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)事件A₁=“某考生所抽的3道題至少有1道B類題”，
則有

.

A

₁=“某考生所抽的3道題都是A類題”．  …（1分）
因為P（

.

A

₁）=

C 3 8

C 3 12

=

14

55

，…（4分）
所以P（A₁）=1-P（

.

A

₁）=55．…（5分）
（Ⅱ）X所有可能抽到的值為0，1，2，3  …（6分）
P（X=0）=

C

0 2

•(

3

5

)0•(

2

5

)0•

1

5

=

4

125

；
P（X=1）=

C

1 2

•(

3

5

)1•(

2

5

)1•

1

5

+

C

0 2

•(

3

5

)0•(

2

5

)2•

4

5

=

28

125

； …（7分）
P（X=2）=

C

2 2

•(

3

5

)2•(

2

5

)0•

1

5

+

C

1 2

•

3

5

•

2

5

•

4

5

=

57

125

；
P（X=3）=

C

2 2

•(

3

5

)2•(

2

5

)0•

4

5

=

36

125

．…（8分）
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	4 125	28 125	57 125	36 125

所以E（X）=0×

4

125

+1×

28

125

+2×

57

125

+3×

36

125

=2．…（12分）

點評：求隨機變量的分布列與期望的關(guān)鍵是確定變量的取值，求出隨機變量取每一個值的概率值．