Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=8，S₄=40．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且T_n-2b_n+3=0，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=

an，n為奇數(shù) bn，n為偶數(shù)

，求數(shù)列{c_n}的前2n+1項和P_2n+1．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）運用等差數(shù)列的通項公式與求和公式，根據(jù)條件列方程，求出首項和公差，得到通項a_n，運用n=1時，b₁=T₁，n＞1時，b_n=T_n-T_n-1，求出b_n；
（Ⅱ）寫出c_n，然后運用分組求和，一組為等差數(shù)列，一組為等比數(shù)列，分別應(yīng)用求和公式化簡即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意，得

a1+d=8 4a1+6d=40

，解得

a1=4 d=4

，
∴a_n=4n；
∵T_n-2b_n+3=0，∴當(dāng)n≥2時，T_n-1-2b_n-1+3=0，
兩式相減，得b_n=2b_n-1，（n≥2）
又當(dāng)n=1時，b₁=3，
則數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴bn=3•2n-1；                  
（Ⅱ）cn=

4n      n為奇數(shù) 3•2n-1  n為偶數(shù)

∴P_2n+1=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=

4+4(2n+1)

2

•(n+1)+

6(1-4n)

1-4

=2²ⁿ⁺¹+4n²+8n+2．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項與前n項和公式，考查方程在數(shù)列中的運用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，必須掌握．