Question

（2012•豐臺區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A，B同時滿足：①點(diǎn)A，B都在函數(shù)y=f（x）圖象上；②點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)對（A，B）是函數(shù)y=f（x）的一個“姐妹點(diǎn)對”（規(guī)定點(diǎn)對（A，B）與點(diǎn)對（B，A）是同一個“姐妹點(diǎn)對”）．那么函數(shù)f(x)=

x-4， x≥0 x2-2x， x＜0

的“姐妹點(diǎn)對”的個數(shù)為

1

；當(dāng)函數(shù)g（x）=a^x-x-a有“姐妹點(diǎn)對”時，a的取值范圍是

a＞1

．

Answer 1

分析：第一空：欲求f（x）的“姐妹點(diǎn)對”，只須作出函數(shù)y=x-4（x≥0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，觀察它與函數(shù)y=x²-2x（x＜0）交點(diǎn)個數(shù)即可．
第二空：構(gòu)建函數(shù)y=a^x（a＞0，且a≠1）和函數(shù)y=x+a，函數(shù)y=a^x（a＞0，且a≠1）關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為y=-a^-x，函數(shù)f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一個“姐妹點(diǎn)對”，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x+a與y=-a^-x只有一個交點(diǎn)，由此可得結(jié)論．

解答：解：根據(jù)題意可知，欲求f（x）的“姐妹點(diǎn)對”，只須作出函數(shù)y=x-4（x≥0）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象，觀察它與函數(shù)y=x²-2x（x＜0）交點(diǎn)個數(shù)即可．
函數(shù)y=x-4（x≥0）關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為y=x+4（x＜0）
在同一坐標(biāo)系作出函數(shù)的圖象，觀察圖象可得：它們的交點(diǎn)個數(shù)是：1．
即f（x）的“姐妹點(diǎn)對”有：1個．
故答案為：1
當(dāng)函數(shù)g（x）=a^x-x-a有“姐妹點(diǎn)對”時：構(gòu)建函數(shù)y=a^x（a＞0，且a≠1）和函數(shù)y=x+a，函數(shù)y=a^x（a＞0，且a≠1）關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)為y=-a^-x
∵函數(shù)f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）只有一個“姐妹點(diǎn)對”，
∴函數(shù)y=x+a與y=a^-x只有一個交點(diǎn)
∵a＞1時，y=a^-x單調(diào)減，與函數(shù)y=x+a圖象只有一個交點(diǎn)；
0＜a＜1時，y=a^-x單調(diào)減，與函數(shù)y=x+a圖象沒有交點(diǎn)；
此時有a＞1；
故答案為a＞1．

點(diǎn)評：本題考查新定義，考查函數(shù)的對稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵在于對“姐妹點(diǎn)對”的正確理解，合理地利用圖象法解決．考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．