Question

15．如圖所示，已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$過點$（{1，\frac{3}{2}}）$，直線l：y=kx+1（k≠0）與橢圓E交于A，B兩點，當(dāng)k=1時，橢圓E的右焦點到直線l的距離為$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)點A關(guān)于y軸的對稱點為A'，試問：直線A'B是否恒過y軸上的一個定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$過點$（{1，\frac{3}{2}}）$，橢圓E的右焦點（c，0）到直線l：y=x+1的距離為$\sqrt{2}$，
列出方程，求出$a=2，b=\sqrt{3}$，即可得到橢圓E的方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有A'（-x₁，y₁），將y=kx+1代入橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，利用韋達(dá)定理，求出直線A'B的方程為$y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}（{x+{x_1}}）$，通過x=0，得到y(tǒng)值，即可推出A'B恒過y軸上的一個定點．

解答 （普通中學(xué)做）解：（1）∵橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$過點$（{1，\frac{3}{2}}）$，∴$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$．…（2分）
∵橢圓E的右焦點（c，0）到直線l：y=x+1的距離為$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{|{c+1}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，∴c=1．…（4分）
又a²=b²+c²，解得$a=2，b=\sqrt{3}$，故橢圓E的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（6分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有A'（-x₁，y₁），
將y=kx+1代入橢圓方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得（3+4k²）x²+8kx-8=0．…（8分）
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8k}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=-\frac{8}{{3+4{k^2}}}$．…（10分）
直線A'B的方程為$y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}（{x+{x_1}}）$，
令x=0，得$y=\frac{{{x_1}{y_2}+{x_2}{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}=\frac{{{x_1}（{k{x_2}+1}）+{x_2}（{k{x_1}+1}）}}{{{x_2}+{x_1}}}=\frac{{2k{x_1}{x_2}}}{{{x_2}+{x_1}}}+1=\frac{{2k（{-\frac{8}{{3+4{k^2}}}}）}}{{-\frac{8k}{{3+4{k^2}}}}}+1=3$，
故A'B恒過y軸上的一個定點（0，3）．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線恒過定點，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．