Question

7．已知g（x）=mx+2，f（x）=x²-2x，若對?x₁∈[-1，2]．?x₀∈[-1，2]，有g(shù)（x₁）=f（x₀）成立，則m的取值范圍是[-1，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 由已知中f（x）=x²-2x，g（x）=mx+2，對?x₁∈[-1，2]，?x₀∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x₀），可得函數(shù)g（x）=mx+2在區(qū)間[-1，2]上的值域是函數(shù)f（x）=x²-2x在區(qū)間[-1，2]上的值域的子集，由此可以構(gòu)造關(guān)于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x²-2x，
∴x₀∈[-1，2]，
∵f（x₀）∈[-1，3]
又∵?x₁∈[-1，2]，?x₀∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x₀），
若m＞0，則g（-1）≥-1，g（2）≤3
解得-$\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{1}{2}$，
即0＜m≤$\frac{1}{2}$，
若m=0，則g（x）=2恒成立，滿足條件；
若m＜0，則g（-1）≤3，g（2）≥-1
解各m≥-1
即-1≤m＜0
綜上滿足條件的m的取值范圍是-1≤m≤$\frac{1}{2}$
故m的取值范圍是[-1，$\frac{1}{2}$]
故答案為：[-1，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的值域，函數(shù)的定義域及其求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件對m進(jìn)行分類討論，是解答本題的關(guān)鍵．