Question

某班50名學生在一次百米跑測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，將測度結果按如下方式分成五組：第一組[13，14），第二組[14，15），…第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）分別求該班成績在[13，14），[17，18]上的學生人數；
（Ⅱ）如果每次從成績在[13，14）∪[17，18]上的同學中隨機抽取2人，并用m，n分別表示被抽到的兩位同學的百米測試成績，若隨機抽取3次（每次抽后都放回），設事件“|m-n|＞1”發(fā)生的次數為ξ，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,頻率分布直方圖,離散型隨機變量的期望與方差

專題：

分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得該班成績在[13，14），[17，18]上的頻率，由此能求出該班成績在[13，14），[17，18]上的學生人數．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，由已知得ξ～B（3，

4

7

），由此能求出ξ的分布列及數學期望．

解答： 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得該班成績在[13，14）的頻率為0.06，
∴該班成績在[13，14）上的學生人數為：0.06×1×50=3（人），
由頻率分布直方圖得該班成績在[17，18]的頻率為0.08，
∴該班成績在[17，18]上的學生人數為：0.08×1×50=4（人）．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
設事件A表達示“|m-n|＞1”，P（

.

A

）=

C 2 3 + C 2 4

C 2 7

=

3

7

，P（A）=

C 1 3 C 1 4

C 2 7

=

4

7

，
∴ξ～B（3，

4

7

），
P（ξ=0）=

C

0 3

(

3

7

)3=

27

343

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

4

7

)(

3

7

)2=

108

343

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

4

7

)2(

3

7

)=

144

343

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

4

7

)3=

64

343

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	27 343	108 343	144 343	64 343

E（ξ）=3×

4

7

=

12

7

．

點評：本題考查該班成績在[13，14），[17，18]上的學生人數的求法，考查離散型隨機變量的分布列的均值的求法，是中檔題，解題時要注意頻率分布直方圖的合理運用．