橢圓的離心率等于
3
3
，且與雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1有相同的焦距，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
75
+
y2
50
=1或
y2
75
+
x2
50
=1
x2
75
+
y2
50
=1或
y2
75
+
x2
50
=1
．
分析：分橢圓的焦點(diǎn)在x軸和y軸上，設(shè)出橢圓方程，利用與雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1有相同的焦距且離心率為
3
3
，建立方程組，求得幾何量，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：（i）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，
設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，則
∵橢圓的焦距與雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1有相同的焦距，且離心率為
3
3
，
∴
a2-b2=25
5
a
=
3
3

∴a2=75，b2=50
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
75
+
y2
50
=1；
（ii）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，
設(shè)橢圓的方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1，則同理可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2
75
+
x2
50
=1．
故答案為：
x2
75
+
y2
50
=1或
y2
75
+
x2
50
=1．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與直線x+y-1=0相交于P、Q兩點(diǎn)，且
OP
⊥
OQ
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：
1
a2
+
1
b2
等于定值；
（Ⅱ）當(dāng)橢圓的離心率e∈[
3
3
，
2
2
]時(shí)，求橢圓長軸長的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上，長軸的長等于2
3
，離心率為
3
3
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)M是橢圓上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，設(shè)直線MA1，MA2的斜率分別為kMA1，kMA2，證明kMA1•kMA2為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

橢圓的離心率等于
3
3
，且與雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1有相同的焦距，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與直線x+y-1=0相交于P、Q兩點(diǎn)，且
OP
⊥
OQ
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：
1
a2
+
1
b2
等于定值；
（Ⅱ）當(dāng)橢圓的離心率e∈[
3
3
，
2
2
]時(shí)，求橢圓長軸長的取值范圍．

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