Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（a＞0，且a≠1）

（1）判斷f（x）的奇偶性并證明；

（2）若對于x∈[2，4]，恒有f（x）＞loga成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)（2）a＞1時(shí)，0＜m＜15，0＜a＜1時(shí)，m＞16

【解析】

試題分析：（1）判斷函數(shù)奇偶性首先判斷定義域是否對稱，在定義域?qū)ΨQ的前提下判斷與的關(guān)系來確定奇偶性；（2）將不等式利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡，轉(zhuǎn)化為真數(shù)的大小關(guān)系，利用分離參數(shù)法將不等式變形，通過求解構(gòu)造的函數(shù)的最值得到m的取值范圍

試題解析：（1）因?yàn)?/span>＞解得x＞1或x＜﹣1，

所以函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭�，�?）∪（1，+∞），……………1分

函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，證明如下：

由（I）知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又因?yàn)閒（﹣x）=loga=loga=loga（）﹣1=﹣loga

=﹣f（x）， ………………………………3分

所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)…………………4分

（2）若對于x∈[2，4]，f（x）＞loga恒成立

即loga＞loga對x∈[2，4]恒成立…………5分

當(dāng)a＞1時(shí)，即＞對x∈[2，4]成立．

則x+1＞，即（x+1）（7﹣x）＞m成立，

設(shè)g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，

因?yàn)閤∈[2，4]

所以g（x）∈[15，16]，

則0＜m＜15， ………………………………8分

同理當(dāng)0＜a＜1時(shí)，即＜對x∈[2，4]成立．

則x+1＜，即（x+1）（7﹣x）＜m成立，

設(shè)g（x）=（x+1）（7﹣x）=﹣（x﹣3）2+16，

因?yàn)閤∈[2，4]

所以g（x）∈[15，16]，

則m＞16，………………………………………………11分

綜上所述：a＞1時(shí)，0＜m＜15，

0＜a＜1時(shí)，m＞16 …………………12分．