Question

5．已知向量$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，cosx），設(shè)函數(shù) f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-$\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)最小正周期；
（2）若f（α）=$\frac{4}{5}$，（$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{5}{12}$π），求 sin2α的值；
（3）把函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程 g（x）-k=0，在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式，輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)條件，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．
（3）根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移關(guān)系先求出g（x）的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)與方程之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
則函數(shù)最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）若f（α）=$\frac{4}{5}$，
則sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，
∵$\frac{π}{6}$≤α≤$\frac{5}{12}$π，
∴$\frac{π}{2}$≤2α+$\frac{π}{6}$≤π，
則cos（2α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{3}{5}$，
則sin2α=sin（2α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sin（2α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（2α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}-（-\frac{3}{5}）×\frac{1}{2}$=$\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$，
（3）把函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令2x-$\frac{π}{6}$=t，
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{6}$≤t≤$\frac{5π}{6}$，
若關(guān)于x的方程 g（x）-k=0，在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
等價(jià)為g（x）與直線y=k在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
由正弦函數(shù)的圖象知$-\frac{1}{2}$≤k＜$\frac{1}{2}$或k=1，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是$-\frac{1}{2}$≤k＜$\frac{1}{2}$或k=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的輔助角公式以及兩角和差的正弦公式，以及函數(shù)與方程之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．