Question

【題目】已知橢圓的離心率為，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為2.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)，證明：直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)離心率和面積的最大值為2，即可列出方程，即可求得結(jié)果；

（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，只需求證，則問題得證.

（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，

所以，即，又，所以，

因?yàn)?/span>面積的最大值為2，所以，即，

又因?yàn)?/span>，所以，，

故橢圓的方程為

（2）由（1）得，

當(dāng)直線的斜率為時(shí)，符合題意，

當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，

設(shè)直線的方程為，代入消去整理得：

，易得

設(shè)，則，

記直線的斜率分別為，則

所以，因此直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱.