Question

附加題（必做題）
如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）設(shè)，異面直線AC₁與CD所成角的余弦值為，求λ的值；
（2）若點D是AB的中點，求二面角D-CB₁-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)，以及向量，的坐標(biāo)，結(jié)合，以及異面直線AC₁與CD所成角的余弦值為，得到關(guān)于λ的等式，即可求出結(jié)論．
（2）先求兩個平面法向量的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計算公式即可求出結(jié)論．
解答：解：（1）以CA，CB，CC₁分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)，
因為AC=3，BC=4，AA₁=4，所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C₁=（0，0，4），
所以，因為，
所以點D（-3λ+3，4λ，0），所以，
因為異面直線AC₁與CD所成角的余弦值為，
所以 ，解得．…（4分）
（2）由（1）得B₁（0，4，4），因為 D是AB的中點，所以，
所以，，平面CBB₁C₁的法向量 =（1，0，0），
設(shè)平面DB₁C的一個法向量=（x，y，z），
則，的夾角（或其補角）的大小就是二面角D-CB₁-B的大小，
由得令x=4，則y=-3，z=3，
所以=（4，-3，3），
∴cos＜，＞===．
所以二面角D-B₁C-B的余弦值為．   …（10分）
點評：本題主要考察利用空間向量求平面間的夾角．解決這類題目的關(guān)鍵在于求兩個平面法向量的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計算公式．