Question

附加題（必做題）
如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）設(shè)

AD

=λ

AB

，異面直線AC₁與CD所成角的余弦值為

9

25

，求λ的值；
（2）若點D是AB的中點，求二面角D-CB₁-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)，以及向量

AD

，

AB

的坐標(biāo)，結(jié)合

AD

=λ

AB

，以及異面直線AC₁與CD所成角的余弦值為

9

25

，得到關(guān)于λ的等式，即可求出結(jié)論．
（2）先求兩個平面法向量的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計算公式即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）以CA，CB，CC₁分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)，
因為AC=3，BC=4，AA₁=4，所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C₁=（0，0，4），
所以

AC1

=(-3，0，4)，因為

AD

=λ

AB

，
所以點D（-3λ+3，4λ，0），所以

CD

=(-3λ+3，4λ，0)，
因為異面直線AC₁與CD所成角的余弦值為

9

25

，
所以　|cos＜

AC1

，

CD

＞|=

|9λ-9|

5 (3-3λ)2+16λ2

=

9

25

，解得λ=

1

2

．…（4分）
（2）由（1）得B₁（0，4，4），因為 D是AB的中點，所以D(

3

2

，2，0)，
所以

CD

=(

3

2

，2，0)，

CB1

=(0，4，4)，平面CBB₁C₁的法向量 

n1

=（1，0，0），
設(shè)平面DB₁C的一個法向量

n2

=（x₀，y₀，z₀），
則

n1

，

n2

的夾角（或其補(bǔ)角）的大小就是二面角D-CB₁-B的大小，
由

n2 • CD =0 n2 • CB 1 =0

得

3 2 x0+2y0=0 4y0+4z0=0

令x₀=4，則y₀=-3，z₀=3，
所以

n2

=（4，-3，3），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

4

34

=

2 34

17

．
所以二面角D-B₁C-B的余弦值為

2 34

17

．   …（10分）

點評：本題主要考察利用空間向量求平面間的夾角．解決這類題目的關(guān)鍵在于求兩個平面法向量的坐標(biāo)，再代入向量的夾角計算公式．