Question

5．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知tan（$\frac{π}{4}$+A）=2，
（1）求$\frac{sin2A}{{sin2A+{{cos}^2}A}}$的值
（2）若B=$\frac{π}{4}$，△ABC的面積為9，求邊長a的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的正切函數(shù)，求出A的正切函數(shù)值，然后求解表達式的值即可．
（2）求出A的正弦函數(shù)值，利用正弦定理以及三角形的面積求解即可．

解答 解：（1）由tan（$\frac{π}{4}$+A）=2，即：$\frac{1+tanA}{1-tanA}$=2，得tanA=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{sin2A}{sin2A+cos2A}$=$\frac{2sinAcosA}{2sinAcosA+si{n}^{2}A+co{s}^{2}A}$=$\frac{2tanA}{2tanA+1}$=$\frac{2}{5}$…..（6分）
（2）由tanA=$\frac{1}{3}$，A∈（0，π），得
sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cosA=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$…．（8分）
由sinC=sin（A+B）=$sin（A+\frac{π}{4}）$，
得sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$…．（10分）
設△ABC的面積為S，則S=$\frac{1}{2}$acsin B=9．
又由及正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，…..（12分）
解得a=3…（14分）

點評 本題考查正弦定理以及三角形的面積的求法，兩角和與差的三角函數(shù)的應用，考查計算能力．