Question

有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價(jià)格相同，某地居民從兩地之一購(gòu)得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：A地每公里的運(yùn)費(fèi)是B地每公里運(yùn)費(fèi)的3倍．已知A、B兩地距離為10公里，顧客選擇A地或B地購(gòu)買(mǎi)這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價(jià)格的總費(fèi)用較低．求P地居民選擇A地或B地購(gòu)物總費(fèi)用相等時(shí)，點(diǎn)P所在曲線的形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購(gòu)物地點(diǎn)？

Answer 1

分析：以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求出由P地到A、B兩地購(gòu)物總費(fèi)用，可求P地居民選擇A地或B地購(gòu)物總費(fèi)用相等時(shí)，點(diǎn)P所在曲線的形狀，進(jìn)而根據(jù)P的位置，即可得出結(jié)論．

解答：解：如圖，以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
∵|AB|=10，∴A（-5，0），B（5，0）．
設(shè)P（x，y），P到A、B兩地購(gòu)物的運(yùn)費(fèi)分別是3a、a（元/公里）．
當(dāng)由P地到A、B兩地購(gòu)物總費(fèi)用相等時(shí)，有：價(jià)格+A地運(yùn)費(fèi)=價(jià)格+B地運(yùn)費(fèi)，
得3a

(x+5)2+y2

=a

(x-5)2+y2

，化簡(jiǎn)整理得(x+

25

4

)2+y2=(

15

4

)2，
（1）當(dāng)P點(diǎn)在以（-

25

4

，0）為圓心、

15

4

為半徑的圓上時(shí)，居民到A地或B地購(gòu)物總費(fèi)用相等．
（2）當(dāng)P點(diǎn)在上述圓內(nèi)時(shí)，

∵(x+ 25 4 )2+y2＜( 15 4 )2

，
∴[9(x+5)2+9y2]-[(x-5)2+y2]=8[(x+

25

4

)2+y2-(

15

4

)2]＜0.
∴3a

(x+5)2+y2

＜a

(x-5)2+y2

，故此時(shí)到A地購(gòu)物合算．
（3）同理，當(dāng)P點(diǎn)在上述圓外時(shí)，得3a

(x+5)2+y2

＞a

(x-5)2+y2

，故此時(shí)到B地購(gòu)物合算．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．