Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(4m，0)(m＞0，m為常數(shù))，離心率等于0.8，過焦點F、傾斜角為θ的直線l交橢圓C于M、N兩點．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若θ＝90°，，求實數(shù)m；

(3)試問的值是否與θ的大小無關(guān)，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（1）＝1.（2）m＝（3）無關(guān)

【解析】(1)∵c＝4m，橢圓離心率e＝＝，∴a＝5m.∴b＝3m.

∴橢圓C的標準方程為＝1.

(2)在橢圓方程＝1中，令x＝4m，解得y＝±.

∵當θ＝90°時，直線MN⊥x軸，此時FM＝FN＝，∴＝.

∵＝，∴＝，解得m＝.

(3)的值與θ的大小無關(guān)．

證明如下：(證法1)設(shè)點M、N到右準線的距離分別為d1、d2.

∵＝，＝，∴＝.

又由圖可知，MFcosθ＋d1＝－c＝，

∴d1＝，即＝.

同理，＝＝(－cosθ＋1)．

∴＝＋(－cosθ＋1)＝.

∴＝·＝.顯然該值與θ的大小無關(guān)．

(證法2)當直線MN的斜率不存在時，由(2)知，的值與θ的大小無關(guān)．

當直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y＝k(x－4m)，

代入橢圓方程＝1，得(25k2＋9)m2x2－200m3k2x＋25m4(16k2－9)＝0.

設(shè)點M(x1，y1)、N(x2，y2)，∵Δ＞0恒成立，∴x1＋x2＝，x1·x2＝.

∵＝，＝，∴MF＝5m－x1，NF＝5m－x2.

∴＝.

顯然該值與θ的大小無關(guān)．