Question

an=

∫

n 0

(2x+1)dx，數(shù)列{

1

an

}的前項和為S_n，數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=n-8，則b_nS_n的最小值為（　�。�

• A、-4
• B、-3
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：定積分,數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：求定積分得到a_n，則

1

an

的通項可求，由裂項相消法求數(shù)列{

1

an

}的前項和為S_n，代入b_nS_n中配方，然后利用基本不等式求最值．

解答： 解：由an=

∫

n 0

(2x+1)dx=(x2+x)

|

n 0

=n²+n，
∴

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴數(shù)列{

1

an

}的前項和為S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
又b_n=n-8，
∴b_nS_n=(n-8)•

n

n+1

=

(n+1)2-10(n+1)+9

n+1

=(n+1)+

9

n+1

-10≥2

(n+1)• 9 n+1

-10=-4．
當(dāng)且僅當(dāng)n+1=

9

n+1

，即n=2時等號成立．
故選：A．

點評：本題考查了定積分，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了基本不等式求最值，是中檔題．