Question

已知f（x）=x（x-a）（x-b），點(diǎn)A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（Ⅰ）若a=b=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足：當(dāng)|x|≤1時(shí)，有|f'（x）|≤恒成立，求函數(shù)f（x）的解析表達(dá)式；
（Ⅲ）若0＜a＜b，函數(shù)f（x）在x=s和x=t處取得極值，且，證明：與不可能垂直．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可得：f'（x）=3x²-4x+1，令f'（x）≥0即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由題可得：故有≤f'（1）≤，≤f'（-1）≤，及≤f'（0）≤，結(jié)合不等式的有關(guān)性質(zhì)可得：ab=，進(jìn)而得到a+b=0，即可得到函數(shù)的解析式．
（Ⅲ）假設(shè)⊥，即=st+f（s）f（t）=0，即有-1[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1，結(jié)合題中條件s+t=（a+b），st=，可得ab（a-b）²=9，再利用基本不等式推出矛盾，進(jìn)而得到答案．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得：f（x）=x³-2x²+x，、
所以f'（x）=3x²-4x+1，
令f'（x）≥0得3x²-4x+1≥0，解得
故f（x）的增區(qū)間和[1，+∞）（4分）
（Ⅱ）由題意可得：f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
并且當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，恒有|f'（x）|≤．（5分）
故有≤f'（1）≤，≤f'（-1）≤，及≤f'（0）≤，（6分）
即…（8分）
①+②，得≤ab≤，…（8分）   
又由③，得ab=，將上式代回①和②，得a+b=0，
故．（10分）
（Ⅲ）假設(shè)⊥，即=（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0（11分）
所以有：（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1，…（11分）
由s，t為f'（x）=0的兩根可得，s+t=（a+b），st=，（0＜a＜b）
從而有ab（a-b）²=9．…（12分）
這樣
即 a+b≥2，這與a+b＜2矛盾．…（14分）
故與不可能垂直．…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及不等式的有關(guān)解法與性質(zhì)，并且此題也考查了向量的數(shù)量積與根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式等知識(shí)點(diǎn)，是一道綜合性較強(qiáng)的題型，屬于難題．對(duì)學(xué)生分析問題，解決問題的能力要求較高．