Question

在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）設Q為側(cè)棱PC上一點，

PQ

=λ

PC

，試確定λ的值，使得二面角Q-BD-P為45°．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PD的中點F，連接EF、AF，由中位線得性質(zhì)和AB∥CD及AB=1證出四邊形ABEF為平行四邊形，則BE∥AF，根據(jù)線面平行的判定得BE∥平面PAD；
（Ⅱ）由平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD證出PD⊥AD，利用三條線相互垂直關系，建立直角坐標系，求出

BC

•

DB

=0，即BC⊥DB，再由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，即證BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）建立的坐標系和結(jié)論，求出平面PBD的法向量

BC

，利用

PQ

=λ

PC

求出Q的坐標，再利用垂直關系求平面QBD的法向量

n

的坐標，由兩個法向量的數(shù)量積運算表示二面角的余弦值，化簡后求出λ∈（0，1）的值．

解答：解：（Ⅰ）取PD的中點F，連接EF，AF，
∵E為PC中點，∴EF∥CD，且EF=

1

2

CD=1，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，∴四邊形ABEF為平行四邊形，
∴BE∥AF，∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．（4分）

（Ⅱ）∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AD．（5分）
如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz．
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）．（6分）

DB

=(1，1，0)，

BC

=(-1，1，0)，
∴

BC

•

DB

=0，BC⊥DB，（8分）
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
∴BC⊥平面PBD．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面PBD的法向量為

BC

=(-1，1，0)，（10分）
∵

PC

=(0，2，-1)，

PQ

=λ

PC

，且λ∈（0，1）
∴Q（0，2λ，1-λ），（11分）
設平面QBD的法向量為

n

=（a，b，c），

DB

=(1，1，0)，

DQ

=(0，2λ，1-λ)，
由n•

DB

=0，n•

DQ

=0，得

a+b=0 2λb+(1-λ)c=0

，
∴n=(-1，1，

2λ

λ-1

)，（12分）
∴cos45°=

n• BC

|n|  | BC |

=

2

2 2+( 2λ λ-1 )2

=

2

2

，（13分）
因λ∈（0，1），解得λ=

2

-1．（14分）

點評：本題用了幾何法和向量法進行證明平行及垂直關系、求值，有中點時通常構(gòu)造中位線證明線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理轉(zhuǎn)化到線面平行；向量法主要利用數(shù)量積為零證明垂直，對待二面角、線面角問題用向量法要簡單些，建立坐標系要利用幾何體中的垂直條件．