Question

設(shè)f（x）=lg

1+2x+4xa

3

  (a∈R)，若當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)f（x）有意義，則a的取值范圍是

（-

3

4

，+∞）

．

Answer 1

分析：f（x）有意義，則真數(shù)大于0，所以問題轉(zhuǎn)化為1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式問題．分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決．注意到4^x=（2^x）²，換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題．

解答：解：f（x）=lg

1+2x+4xa

3

  (a∈R)，若當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)f（x）有意義轉(zhuǎn)化為1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式問題．
分離參數(shù)可得：a＞-[(

1

2

)2x+(

1

2

)x]
設(shè)t=(

1

2

)x，則t≥

1

2

設(shè)g（t）=t²+t，其對(duì)稱軸為t=-

1

2

∴g（t）=t²+t在[

1

2

，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)t=

1

2

時(shí)，g（t）有最小值g（

1

2

）=

3

4

∴a的取值范圍是a＞-

3

4

故答案為（-

3

4

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、不等式恒成立問題，考查換元法和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．