Question

設(shè)f（x）=lg

1+2x+4xa

3

，如果當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)f（x）有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)f（x）=lg

1+2x+4xa

3

有意義的函數(shù)問題，
轉(zhuǎn)化為1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立的不等式問題．
不等式1+2^x+4^xa＞0在x∈（-∞，1]上恒成立，
即：a＞-[（

1

2

）^2x+（

1

2

）^x]在x∈（-∞，1]上恒成立．
設(shè)t=（

1

2

）^x，則t≥

1

2

，又設(shè)g（t）=t²+t，其對稱軸為t=-

1

2

∴g（t）=t²+t在[

1

2

，+∞）上為增函數(shù)，當(dāng)t=

1

2

時(shí)，g（t）有最小值g（

1

2

）=（

1

2

）²+

1

2

=

3

4

所以a的取值范圍是a＞-

3

4

．