Question

如圖．在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，點M是SD上的點，AM與BC所成的角為，
AN⊥SC，垂足為點N．
（I）求證：SB∥平面ACM；
（ II）求直線AC與平面SDC所成的角；
（Ⅲ）求二面角N-AM-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意連接BD交AC于E，連接ME，根據(jù)ME是三角形DSB的中位線進(jìn)行證明；
（II）由題可得，CD⊥平面SAD，直線AC與平面SDC所成的角為∠ACM，然后在Rt△AMC中進(jìn)行求解；
（Ⅲ）因為AM⊥平面SCD，所以∠NMC為二面角N-AM-C的一個平面角，然后在直角三角形中求其余弦值，從而求解．
解答：解法一：依題意有AD∥BC，所以
所以點M是SD的中點，且AM⊥SD（3分）
（Ⅰ）證明：連接BD交AC于E，連接ME（4分）
∵ABCD是正方形，
∴E是BD的中點∵M(jìn)是SD的中點，
∴ME是△DSB的中位線
∴ME∥SB（5分）
又∵M(jìn)E?平面ACM，SB?平面ACM，
∴SB∥平面ACM． （6分）

（Ⅱ）由題可得，CD⊥平面SAD，所以有CD⊥AM，又SD⊥AM
∴AM⊥平面SCD，
∴∠ACM為直線AC與平面SDC所成的角（8分）
在Rt△AMC中，，
∴，即直線AC于平面SDC所成的角為（9分）
（Ⅲ）∵AM⊥平面SCD
∴∠NMC為二面角N-AM-C的一個平面角（10分）
且AM⊥SC，又AN⊥SC
∴SC⊥平面AMN∴SC⊥MN．
在Rt△MNC中，
∵Rt△SNM∽Rt△SDC
∴
∴

∴二面角N-AM-C的大小為（12分）
解法二：依題意有AD∥BC，所以
所以點M是SD的中點，且AM⊥SD
如圖，以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
由SA=AB故設(shè)AB=AD=AS=1則A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），（3分）
（Ⅰ）連接BD交AC于E，則
∵
∴
∴∥
∴SB∥平面ACM（6分）

（Ⅱ）由題可得，CD⊥平面SAD，所以有CD⊥AM
又SD⊥AM
∴AM⊥平面SCD
∴為平面SCD的一個法向量
∴
∴
∴直線AC于平面SDC所成的角為（9分）
（Ⅲ）∵AM⊥平面SCD
∴AM⊥SC，又AN⊥SC
∴SC⊥平面AMN
∴為平面AMN的一個法向量．
設(shè)平面AMC的一個法向量為，則即，
令x=1，則z=y=-1即
∴
∴二面角N-AM-C的大小為（12分）
點評：此題是道綜合性比較強的題，考查空間直線與平面平行的判斷及二面角的求法，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，此類題型是高考常出的，同學(xué)們要注意兩種方法的區(qū)別和聯(lián)系．