Question

已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數，且函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為π．
（1）求函數y=f（x）的解析式；
（2）已知△ABC中角 A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且f（A+

π

6

）=

6

5

，c=2a，求sinC的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）先根據函數對稱軸之間的距離，即可得到函數的周期，利用函數的周期性和奇偶性即可求出求函數y=f（x）的解析式；
（2）根據函數的解析式，利用三角函數邊角關系即可得到結論．

解答： 解：（1）∵函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為π，
∴函數f（x）周期為2π．∴ω=1．
∵f（x）=2sin（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數，
∴當x=0時f（0）=2sinϕ=2，∴ϕ=

π

2

．
即f(x)=2sin(x+

π

2

)=2cosx．
（2）f(A+

π

6

)=2cos(A+

π

6

)=

6

5

，
∴cos(A+

π

6

)=

3

5

，
又由于

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
∴sin(A+

π

6

)=

4

5

，
∴sinA=sin[(A+

π

6

)-

π

6

]=

3

2

sin(A+

π

6

)-

1

2

cos(A+

π

6

)=

4 3 -3

10

，
∴sinC=

csinA

a

=

4 3 -3

5

．

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，根據函數的對稱性和奇偶性求出函數的解析式是解決本題的關鍵．