Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

6

3

，且橢圓C上的點到點Q（2，0）的距離的最大值為3．
（1）求橢圓C的方程．
（2）已知過點T（0，2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點，若在x軸上存在一點E，使∠AEB=90°，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由e=

6

3

，可得a²=3b²，古設(shè)橢圓的方程為

y2

3b2

+

x2

b2

=1，利用橢圓C上的點到點Q（2，0）的距離的最大值為3，求出b，即可求橢圓C的方程．
（2）由已知，以AB為直徑的圓與X軸有公共點，直線l：y=kx+2代入

y2

3

+x2=1得

△=12k2-12＞0 6 3+k2 ≤ 1 2 |AB|

，即可確定直線l的斜率k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵e=

6

3

，∴a²=3b²，
設(shè)橢圓的方程為

y2

3b2

+

x2

b2

=1，設(shè)P（x，y）為橢圓C上任意一點，
|PQ|²=（x-2）²+y²=-2（x+1）²+6+3b²…（2分）
由于x∈[-b，b]，當b≥1時，此時|PQ|²取得最大值6+3b²=9，∴b²=1，a²=3
當b＜1時，此時|PQ|²取得最大值（b+2）²=9，不符合題意…（5分）
故所求橢圓方程為

y2

3

+x2=1…（6分）
（2）由已知，以AB為直徑的圓與X軸有公共點，…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），b（x₂，y₂），AB中點M（x₀，y₀）
直線l：y=kx+2代入

y2

3

+x2=1得（3+k²）x²+4kx+1=0，△=12k²-12
∴x0=

x1+x2

2

=

-2k

3+k2

，y0=kx0+2=

6

3+k2

，…（8分）
|AB|=

1+k2

△

3+k2

=

2 3 k4-1

3+k2

…（10分）
∴

△=12k2-12＞0 6 3+k2 ≤ 1 2 |AB|

解得：k⁴≥13，即k≥

4	13

或k≤-

4	13

…（12分）
∴所求直線l的斜率k的取值范圍是k≥

4	13

或k≤-

4	13

…（13分）

點評：本題考查橢圓的性質(zhì)與方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．