已知函數(shù)f(x)=cosx[sin(x+
π
3
)-
3
sin(x+
π
2
)]+
3
4

(1)若f(
θ
2
+
12
)=
3
10
,0<θ<
π
2
,求tanθ的值;
(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.
考點:三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象
專題:三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(1)由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f(x)=
1
2
sin(2x-
π
3
),由f(
θ
2
+
12
)=
3
10
,可解得cosθ,又0<θ<
π
2
,可由同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求sinθ,tanθ的值.
(2)由f(x)=
1
2
sin(2x-
π
3
),根據(jù)周期公式可求T,由2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
,k∈Z可解得單調(diào)遞增區(qū)間.
解答: 解:(1)∵f(x)=cosx[sin(x+
π
3
)-
3
sin(x+
π
2
)]+
3
4
=cosx(
1
2
sinx-
3
2
cosx)+
3
4
=
1
4
sin2x-
3
4
cos2x=
1
2
sin(2x-
π
3
),
∵f(
θ
2
+
12
)=
3
10
,故有:
1
2
sin[2(
θ
2
+
12
)-
π
3
]=
1
2
sin(θ+
6
-
π
3
)=
1
2
sin(θ+
π
2
)=
1
2
cosθ=
3
10
,
∴可解得:cosθ=
3
5

∵0<θ<
π
2
,sinθ=
1-cos2θ
=
4
5
,
∴tanθ=
sinθ
cosθ
=
3
5
4
5
=
3
4

(2)∵f(x)=
1
2
sin(2x-
π
3
),
∴T=
2
=π.
∴由2kπ-
π
2
≤2x-
π
3
≤2kπ+
π
2
,k∈Z可解得:x∈[kπ-
π
12
,kπ+
12
],k∈Z
∴函數(shù)f(x)的最小正周期是π,單調(diào)遞增區(qū)間是:x∈[kπ-
π
12
,kπ+
12
],k∈Z.
點評:本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于基本知識的考查.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若不等式(a-a2)•(x2+1)+x≤0對一切x∈[(0,2]恒成立,則a的取值范圍為( 。
A、(-∞,
1-
3
2
B、[
1+
3
2
,+∞)
C、[
1-
3
2
,
1+
3
2
]
D、(-∞,
1-
3
2
]∪[
1+
3
2
,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an3+an2(1-an+1)+1=an+1(n∈N+);
(1)證明:an+1>an;
(2)若bn=(1-
an2
an+12
1
an
,證明:0<
n
k-1
bk<2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=2cos2x+1,x∈(0,π),則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(  )
A、(π,2π)
B、(0,π)
C、(
π
2
,π
D、(0,
π
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

拋物線8y-x2=0的焦點F到直線l:x-y-1=0的距離是( 。
A、
5
2
2
B、
2
C、
2
2
D、
3
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船,由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°,且兩條船與炮臺底部都在一條線上,則兩船相距( 。
A、30
3
m
B、30m
C、30(
3
-1)m
D、30(
3
+1)m

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a>0,在可行域內(nèi)任取一點(x,y),如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖,那么能輸出有序?qū)崝?shù)數(shù)對(x,y)的概率是( 。
A、
1
3
B、
1
3a
C、
1
6
D、
1
6a

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在各項均不為0的數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=
1
3
,2anan+2=an+1an+2+anan+1(n∈N),則A2015=( 。
A、
1
4027
B、
1
4028
C、
1
4029
D、
1
4031

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中向量
a
=
AB
+
AC
,
b
=3
AB
+8
AC
+
BC
,
c
=4
CB
+
BA
,則下列結(jié)論一定成立的是( 。
A、向量
a
+
c
一定與向量
b
平行
B、向量
b
+
c
一定與向量
a
平行
C、向量
a
+
b
一定與向量
c
平行
D、向量
a
-
b
一定與向量
c
平行

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同步練習(xí)冊答案