Question

橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，0），Q（0，-1）
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（Ⅱ）設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)镻（3，0），Q（0，-1）在坐標(biāo)軸上，由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程定義易得a、b的值，進(jìn)而求得橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)
（Ⅱ）將直線與橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)而不求的技巧，易得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)

解答：解：（Ⅰ）由已知可得a=3，b=1，∴c=

a2-b2

=2

2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+y2=1，
長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6，短軸長(zhǎng) 2b=2．
離心率e=

c

a

=

2 2

3

．
    焦點(diǎn)為(2

2

，0)，(-2

2

，0)．
（Ⅱ）

x2 9 +y2=1 y=x+2

得出10x²+36x+27=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀）
則x₁+x₂=-

18

5

，x₀=

x1+x2

2

=-

9

5

，y₀=x₀+2=

1

5

∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-

9

5

，

1

5

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的定義和求法，橢圓的幾何意義，及直線與橢圓的關(guān)系，簡(jiǎn)單運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)而不求解決問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題