Question

橢圓C經(jīng)過點P（3，0），Q（0，-1）
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出橢圓C的長軸長、短軸長、離心率和焦點坐標(biāo)．
（Ⅱ）設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A，B兩點，求線段AB的中點坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為P（3，0），Q（0，-1）在坐標(biāo)軸上，由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程定義易得a、b的值，進而求得橢圓C的長軸長、短軸長、離心率和焦點坐標(biāo)
（Ⅱ）將直線與橢圓聯(lián)立，運用韋達定理，設(shè)而不求的技巧，易得線段AB的中點坐標(biāo)
解答：解：（Ⅰ）由已知可得a=3，b=1，∴
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
長軸長2a=6，短軸長 2b=2．
離心率．
    焦點為．
（Ⅱ）得出10x²+36x+27=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點坐標(biāo)為（x，y）
則x₁+x₂=，x=，y=x+2=∴線段AB的中點坐標(biāo)為
點評：本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的定義和求法，橢圓的幾何意義，及直線與橢圓的關(guān)系，簡單運用韋達定理，設(shè)而不求解決問題，屬基礎(chǔ)題