Question

10．給定下列命題：
①“若k＞0，則方程x²+2x-k=0有實數根”的逆否命題；
②“若A=B，則sinA=sinB”的逆命題；
③“若$\frac{1}{a}＜\frac{1}＜0，則\;ab＜b$²”的逆否命題；
④“若xy=0，則x，y中至少有一個為零”的否命題．
⑤“若$\frac{a}＞\frac{a}，則\;a＜b＜0$”的逆命題．
其中真命題的序號是①③④．

Answer 1

分析 ①由方程x²+2x-k=0有實數根，則△=4+4k≥0，解得k的范圍，即可判斷出真假，進而判斷出其逆否命題具有相同的真假性；
②原命題的逆命題為“若sinA=sinB，則A=B”，舉例：取A=2π，B=π，即可判斷出真假；
③由$\frac{1}{a}＜\frac{1}＜0$，可得b＜a＜0，可得b²＞ab，即可判斷出真，進而其逆否命題具有相同的真假性；
④原命題的逆命題為：“若x，y中至少有一個為零，則xy=0”是真命題，進而得到原命題的否命題具有相同的真假性．
⑤原的逆命題為“若a＜b＜0，則$\frac{a}$＞$\frac{a}$”，舉例：取a=-2，b=-1，-2＜-1＜0，即可判斷出真假．

解答 解：①由方程x²+2x-k=0有實數根，則△=4+4k≥0，解得k≥-1，因此“若k＞0，則方程x²+2x-k=0有實數根”是真命題，其逆否命題也是真命題；
②“若A=B，則sinA=sinB”的逆命題為“若sinA=sinB，則A=B”，是假命題例如：取A=2π，B=π；
③由$\frac{1}{a}＜\frac{1}＜0$，可得b＜a＜0，∴b²＞ab，因此“若$\frac{1}{a}＜\frac{1}＜0，則\;ab＜b$²”是真命題，其逆否命題也是真命題；
④“若xy=0，則x，y中至少有一個為零”的逆命題為：“若x，y中至少有一個為零，則xy=0”是真命題，因此原命題的否命題也是真命題．
⑤“若$\frac{a}＞\frac{a}，則\;a＜b＜0$”的逆命題為“若a＜b＜0，則$\frac{a}$＞$\frac{a}$”是假命題，例如：取a=-2，b=-1，-2＜-1＜0，但是$\frac{a}$＜$\frac{a}$．
其中真命題的序號是 ①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、命題之間真假性的關系、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．