Question

7．師大附中三年級一班40人隨機(jī)平均分成兩組，兩組學(xué)生一次考試的成績情況如下表：

統(tǒng)計量  組別	平均成績	標(biāo)準(zhǔn)差
第一組	90	6
第二組	80	4

求全班學(xué)生的平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差．

Answer 1

分析 因為是平均分組，所以全班學(xué)生的平均值是兩組學(xué)生平均值的平均，標(biāo)準(zhǔn)差計算時要分開算出每組學(xué)生對全班平均值的差的平方和，再求標(biāo)準(zhǔn)差．

解答 解：∵某班40人隨機(jī)平均分成兩組，
兩個組的平均成績分別是80，90．
∴全班的平均成績是：$\frac{80×20+90×20}{40}$=85，
由已知$\frac{1}{20}$$\sum_{1}^{20}$（x_i-90）²=36，即$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-90）²=720，
即$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85-5）²=720，即$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85）²-10$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85）+500=720
$\frac{1}{20}$$\sum_{i=1}^{20}$（x_j-80）²=16，即$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85+5）²=320，即$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85）²+10$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85）+500=320，
故$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85）²+$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85）²-10$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85）+10$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85）+1000=1040，
故$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85）²+$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85）²-10$\sum_{i=1}^{20}$x_i+10$\sum_{j=1}^{20}$x_j+1000=2040
故$\sum_{i=1}^{20}$（x_i-85）²+$\sum_{j=1}^{20}$（x_j-85）²=2040
故$\sum_{i=1}^{40}$（x_i-85）²=2040
∴S=$\sqrt{\frac{1}{40}×2040}$=$\sqrt{51}$．
∴全班學(xué)生的平均成績?yōu)?5，標(biāo)準(zhǔn)差為$\sqrt{51}$．

點評 本題考點是方差與標(biāo)準(zhǔn)差，本題屬于變換求標(biāo)準(zhǔn)差的題型，關(guān)鍵是厘清相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，達(dá)到用已知表示未知的目的，請認(rèn)真體會本題的轉(zhuǎn)化方法，其本質(zhì)是作了一系列的恒等變形．