Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（x＞0，a≥0）．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并給予證明；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）f（x）在（0，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增．求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可判斷；
（2）對(duì)a討論，結(jié)合（1）的單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性即可得到最大值．

解答 解：（1）f（x）在（0，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增．
理由如下：f（x）=x+$\frac{a}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，（x＞0，a≥0），
由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{a}$，由f′（x）＜0，可得0＜x＜$\sqrt{a}$，
即有f（x）在（0，$\sqrt{a}$）遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）遞增；
（2）當(dāng)$\sqrt{a}$≥2，即a≥4時(shí)，[1，2]遞減，
即有f（1）最大，且為1+a；
當(dāng)$\sqrt{a}$≤1，即0≤a≤1時(shí)，[1，2]遞增，
f（2）最大，且為2+$\frac{1}{2}$a；
當(dāng)1＜$\sqrt{a}$＜2時(shí)，x=$\sqrt{a}$時(shí)，f（x）取得最小值，
當(dāng)1＜a≤2時(shí)，f（2）≥f（1），即有f（2）最大，且為2+$\frac{1}{2}$a；
當(dāng)2＜a＜4時(shí)，f（2）＜f（1），即有f（1）最大，且為1+a．
綜上可得，a＞2時(shí)，f（x）的最大值為f（1）=1+a；
0≤a≤2時(shí)，f（x）的最大值為f（2）=2+$\frac{1}{2}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，以及單調(diào)性求最值，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．