Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a＜0）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁=1，x₂=3，當(dāng)時(shí)，f（x）＜3d²恒成立，則d的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：對f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)可知3和1是方程3ax²+2bx+c=0的兩根，利用韋達(dá)定理建立方程組，解之即可得a，b，c的關(guān)系；根據(jù)條件f（x）＜3d²恒成立，建立關(guān)于d的不等關(guān)系，然后利用研究函數(shù)的最值即可求出d的取值范圍．
解答：解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a＜0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c（a＜0）
依題意有 3和1是方程3ax²+2bx+c=0的兩根．
∴解得 ，∴f（x）=ax³-6ax²+9ax+d．
f′（x）=3ax²-12ax+9a，
f（x）＜3d²恒成立，?ax³-6ax²+9ax+d＜3d²恒成立，?3d²-d＞ax³-6ax²+9ax恒成立，
?3d²-d大于ax³-6ax²+9ax在上的最大值，
∵ax³-6ax²+9ax在上是增函數(shù)，在x∈[1，3]上是減函數(shù)，
在x∈[3，4]上是減函數(shù)，且當(dāng)x=1和x=4的函數(shù)值相等，
∴3d²-d＞a×1³-6a×1²+9a×1，
即3d²-d＞4a，
∴d或d＜．
即為d的取值范圍．
點(diǎn)評：考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)恒成立問題等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．