Question

已知關(guān)于x的函數(shù)g（x）=

2

x

+alnx（a∈R），f（x）=2x+g（x）．
（1）試討論函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＞0，試求f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的極值；
（3）求證：2x+

2

x

+alnx-3＞0恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的極值；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為只需x+

1

x

+alnx-1＞0，構(gòu)造h（x）=x+

1

x

+alnx，求出函數(shù)h（x）的最小值即可．

解答： 解：（1）∵g（x）=

2

x

+alnx，（x＞0）
∴g′（x）=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，
當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=

2

x

，故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜0時(shí)，可得g′（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，g（x）在（0，

2

a

）上單調(diào)遞減，在（

2

a

，+∞）單調(diào)遞增；
（2）∵f（x）=2x+g（x）．
∴f（x）=2x+

2

x

+alnx，（x＞0）
∵f′（x）=2-

2

x2

+

a

x

=

2x2+ax-2

x2

，
若a＞0，則
當(dāng)x∈（0，

-a+ a2+16

4

）時(shí)，f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（0，

-a+ a2+16

4

）時(shí)，f′（x）＜0，
故f（x）在區(qū)間（0，

-a+ a2+16

4

）上為減函數(shù)，在區(qū)間（

-a+ a2+16

4

，1）上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=

-a+ a2+16

4

時(shí)，函數(shù)f（x）取極小值；
（3）∵x+

1

x

≥2，（x＞0），
∴要證2x+

2

x

+alnx-3＞0，
只需x+

1

x

+alnx-1＞0，
構(gòu)造h（x）=x+

1

x

+alnx，
求導(dǎo)有：x′+(

1

x

)′+（alnx）′=0，
當(dāng)h′（x）=0時(shí)有最值，
∴1-

1

x2

+

a

x

=0時(shí)，h（x）有最小值，
即x²+ax-1=0，(x+

a

2

)2=1+(

a

2

)2，
∴h（x）的最小值為：1+(

a

2

)2＞1，
∴x+

1

x

+alnx＞1得證，

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值，最值，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．