Question

16．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=EC=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$．求證：
（1）AC₁∥平面BDE；
（2）A₁E⊥平面BDE．

Answer 1

分析 （1）證明線(xiàn)面平行，只需證明直線(xiàn)與平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行即可．連接AC與DB交于O，連接OE，AC₁∥OE，即可證明AC₁∥平面BDE．
（2）證明線(xiàn)面垂直，只需證明直線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直即可．連接OA₁，可證OA₁⊥DB，OE⊥DB，平面A₁OE⊥DB．可得A₁E⊥DB．利用勾股定理證明A₁E⊥EB即可得A₁E⊥平面BDE．

解答 解：（1）ABCD-A₁B₁C₁D₁是長(zhǎng)方體，AB=BC=EC=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$．
可得平面ABCD和平面A₁B₁C₁D₁是正方形，E為CC₁的中點(diǎn)．
連接AC與DB交于O，連接OE，
可得：AC₁∥OE，
OE?平面BDE．
∴AC₁∥平面BDE．
（2）連接OA₁，
根據(jù)三垂線(xiàn)定理，可得OA₁⊥DB，OE⊥DB，OA₁∩OE=O，
∴平面A₁OE⊥DB．
可得A₁E⊥DB．
∵E為CC₁的中點(diǎn)．設(shè)AB=BC=EC=$\frac{1}{2}$AA₁=a
∴$BE=\sqrt{2}a$，A₁E=$\sqrt{3}a$，A₁B=$\sqrt{5}a$
∵A₁B²=A₁E²+BE²．
∴A₁E⊥EB．
∵EB?平面BDE．BD?平面BDE．EB∩BD=B，
∴A₁E⊥平面BDE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面平行，線(xiàn)面垂直的證明．考查學(xué)生對(duì)書(shū)本知識(shí)的掌握情況以及空間想象，屬于中檔題．