Question

已知雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的離心率為，右準線方程為x=
（I）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線l是圓O：x²+y²=2上動點P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點A，B，證明∠AOB的大小為定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，，
解得a=1，c=，
b²=c²﹣a²=2，
∴所求雙曲C的方程．
（Ⅱ）P（m，n）（mn≠0）在x²+y²=2上，
圓在點P（m，n）處的切線方程為y﹣n=﹣（x﹣m），
化簡得mx+ny=2．
以及m²+n²=2得
（3m²﹣4）x²﹣4mx+8﹣2m²=0，
∵切L與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且0＜m²＜2，
3m²﹣4≠0，且△=16m²﹣4（3m²﹣4）（8﹣2m²）＞0，
設A、B兩點的坐標分別（x₁，y₁），（x₂，y₂），
x₁+x₂=，x₁x₂=．
∵，
且
=x₁x₂+[4﹣2m（x₁+x₂）+m²x₁x₂]
=+[4﹣+]
=﹣=0．
∴∠AOB的大小為90⁰．