Question

一位游客欲參觀上海世博會中甲、乙、丙這3個展覽館，又該游客參觀甲、乙、丙這3個展覽館的概率分別是0.4，0.5，0.6，且是否參觀哪個展覽館互不影響．設(shè)ξ表示該游客離開上海世博會時參觀的展覽館數(shù)與沒有參觀的展覽館數(shù)之差的絕對值．
（Ⅰ）求ξ的概率分布及數(shù)學期望；
（Ⅱ）記“函數(shù)f（x）=x²-3ξx+1在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求ξ的概率分布，由于ξ的可能取值為1，3．故只要利用相互獨立事件的概率公式，分別求出這兩個值的概率即可；最后再利用數(shù)學期望的計算公式求解即可．
（Ⅱ）先計算出事件A對應的ξ的值，再利用（I）中分布表求出其概率即可．

解答：解：（Ⅰ）分別記“客人參觀甲展覽館”，“客人參觀乙展覽館”，
“客人參觀丙展覽館”為事件A₁，A₂，A₃．由已知A₁，A₂，A₃相互獨立，
P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6．
客人參觀的展覽館數(shù)的可能取值為0，1，2，3．
相應地，客人沒有參觀的展覽館數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3．
P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）+P（

.

A1

)P(

.

A2

)P(

.

A3

)）
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，P（ξ=1）=1-0.24=0.76，所以ξ的概率分布表為
（5分）
∴Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48（6分）
（Ⅱ）因為f(x)=(x-

3

2

ξ)2+1-

9

4

ξ2，
所以函數(shù)f（x）=x²-3ξx+1在區(qū)間[

3

2

ξ，+∞)上單調(diào)遞增，
要使f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，當且僅當

3

2

ξ≤2，即ξ≤

4

3

.
從而P(A)=P(ξ≤

4

3

)=P(ξ=1)=0.76（10分）

點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式、離散型隨機變量及其分布列及離散型隨機變量的期望與方差，屬于基礎(chǔ)題．