Question

一位游客欲參觀上海世博會(huì)中甲、乙、丙這3個(gè)展覽館，又該游客參觀甲、乙、丙這3個(gè)展覽館的概率分別是0.4，0.5，0.6，且是否參觀哪個(gè)展覽館互不影響．設(shè)ξ表示該游客離開上海世博會(huì)時(shí)參觀的展覽館數(shù)與沒有參觀的展覽館數(shù)之差的絕對(duì)值．
（Ⅰ）求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）記“函數(shù)f（x）=x²-3ξx+1在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲求ξ的概率分布，由于ξ的可能取值為1，3．故只要利用相互獨(dú)立事件的概率公式，分別求出這兩個(gè)值的概率即可；最后再利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解即可．
（Ⅱ）先計(jì)算出事件A對(duì)應(yīng)的ξ的值，再利用（I）中分布表求出其概率即可．
解答：解：（Ⅰ）分別記“客人參觀甲展覽館”，“客人參觀乙展覽館”，
“客人參觀丙展覽館”為事件A₁，A₂，A₃．由已知A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立，
P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6．
客人參觀的展覽館數(shù)的可能取值為0，1，2，3．
相應(yīng)地，客人沒有參觀的展覽館數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3．
P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）+P（）
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，P（ξ=1）=1-0.24=0.76，所以ξ的概率分布表為
（5分）
∴Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48（6分）
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212426547073519/SYS201310232124265470735022_DA/2.png">，
所以函數(shù)f（x）=x²-3ξx+1在區(qū)間上單調(diào)遞增，
要使f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)
從而（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、離散型隨機(jī)變量及其分布列及離散型隨機(jī)變量的期望與方差，屬于基礎(chǔ)題．