15．若方程（a2+b2）x2-2b（a+c）x+b2+c2=0（a、b、c為非零實(shí)數(shù)）有實(shí)根，求證：a、b、c成等比數(shù)列．

分析 由二次方程有實(shí)根的條件：判別式非負(fù)，化簡(jiǎn)整理，由完全平方公式，可得ac-b2=0，再由等比數(shù)列的性質(zhì)即可得證．

解答 證明：方程（a2+b2）x2-2b（a+c）x+b2+c2=0（a、b、c為非零實(shí)數(shù)）有實(shí)根，
即有判別式△=4b2（a+c）2-4（a2+b2）（b2+c2）≥0，
化簡(jiǎn)可得2ab2c-a2c2-b4≥0，
即有（ac-b2）2≤0，
又（ac-b2）2≥0，
則ac-b2=0，
即有b2=ac，
則有a、b、c成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次方程有實(shí)根的條件，同時(shí)考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

2．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{6}$x3+x2-aex+2．
（1）若a=1，求曲線(xiàn)y=f（x）在x=0處的切線(xiàn)方程；
（2）設(shè)函數(shù)y=f（x）在（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導(dǎo)函數(shù)為f″（x）．若在（a，b）上，f″（x）＞0，則稱(chēng)函數(shù)在上為“凹函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{6}$x3+x2-aex+2是R上的“凹函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

6．為緩解高三同學(xué)的緊張情緒，某校舉行高三跳繩友誼賽，高三（一）班的3個(gè)同學(xué)分別與（二）班的3個(gè)同學(xué)對(duì)陣已知每一場(chǎng)比賽（一）班同學(xué)勝（二）班同學(xué)的概率分別為$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$．
（1）求兩個(gè)班級(jí)的同學(xué)都至少勝一場(chǎng)的概率；
（2）求（一）班獲勝場(chǎng)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望值E（X）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短軸長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)A（4，1）的直線(xiàn)交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)M，N，若直線(xiàn)上另一點(diǎn)B滿(mǎn)足|$\overrightarrow{AM}$|•|$\overrightarrow{BN}$|=|$\overrightarrow{AN}$|•|$\overrightarrow{BM}$|．
（Ⅰ）求點(diǎn)B的軌跡方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)B的軌跡交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q，求△APQ的面積．

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10．如圖，已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1、2，AB=4．
（1）證明：PQ⊥平面ABCD；
（2）求異面直線(xiàn)AQ與PB所成角的余弦值．

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20．已知點(diǎn)P（4，3），令點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離保持不變，并繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°、120°、-60°到P1、P2、P3的位置，求點(diǎn)P1、P2、P3的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

7．一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，3）
（1）若此直線(xiàn)是一條入射光線(xiàn)，射在直線(xiàn)l：x+y+1=0，反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（1，1），求反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；
（2）若直線(xiàn)與x軸，直線(xiàn)x=-1圍成的三角形的面積是18，且不過(guò)第三象限，求直線(xiàn)的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

4．已知x的對(duì)數(shù)，求x．
（1）lgx=lga+lgb
（2）logax=$\frac{1}{2}$logab-logac．

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5．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，0＜β＜π，求α-β的取值范圍．

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