Question

已知點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足條件，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．
（1）求W的方程；
（2）過(guò)N（2，0）作直線(xiàn)l交曲線(xiàn)W于A，B兩點(diǎn)，使得|AB|=2，求直線(xiàn)l的方程．
（3）若從動(dòng)點(diǎn)P向圓C：x²+（y-4）²=1作兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A、B，令|PC|=d，試用d來(lái)表示，并求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由，知點(diǎn)P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點(diǎn)，
實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)．（2分）
即設(shè)
所以所求的W的方程為x²-y²=2（4分）
（2）若k不存在，即x=2時(shí)，可得A（2，），B（2，-），|AB|=2滿(mǎn)足題意；（5分）
若k存在，可設(shè)l：y=k（x-2）
聯(lián)立，?（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由題意知?k∈R且k≠±1（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=
即=2?k=0即l：y=0（8分）
所以直線(xiàn)l的方程為x=2或y=0（9分）
（3）=；
又d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10
則=
∵d²≥10（13分）在是增函數(shù)，
∴
則所求的的范圍為（16分）
分析：（1）由，知點(diǎn)P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)．由此能求出W的方程．
（2）若k不存在，即x=2時(shí)，可得A（2，），B（2，-），|AB|=2滿(mǎn)足題意；若k存在，可設(shè)l：y=k（x-2），聯(lián)立，得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0．由題意知，k≠±1．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=．由此能求出直線(xiàn)l的方程．
（3）=，由d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10，知=，由此能求出的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)方程和直線(xiàn)方程的求法，求的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)和向量數(shù)量積計(jì)算公式，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．