Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證；

（3）設(shè)，對(duì)于任意時(shí)，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）遞增區(qū)間為和,遞減區(qū)間為.（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】分析：（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）在上有兩個(gè)不等的實(shí)根,由韋達(dá)定理及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得，只需利用導(dǎo)數(shù)證明即可；（3）只需成立即可.化簡(jiǎn)得,，所以在遞增，，利用在上恒成立可得結(jié)果.

詳解：(1)

時(shí),,

令或,令,

所以的遞增區(qū)間為和,遞減區(qū)間為.

(2)由于有兩個(gè)極值點(diǎn),

則在上有兩個(gè)不等的實(shí)根,

設(shè)，

所以

所以在上遞減，所以即.

(3)由題意知：只需成立即可. 因?yàn)?/span>,

所以，因?yàn)?/span>，所以，而，

所以，所以在遞增，

當(dāng)時(shí)，.

所以在上恒成立，

令，則在上恒成立，

，又

當(dāng)時(shí)，,在遞減,當(dāng)時(shí)，,

所以，所以；

當(dāng)即時(shí)，

①即時(shí)，在上遞增，

存在，使得，不合；

②即時(shí)，，在遞減,

當(dāng)時(shí)，,所以，

所以綜上, 實(shí)數(shù)的取值范圍為.