如圖，直棱柱（側棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別為A1B1，A1A的中點．
（1）求cos＜
BA1
，
CB1
＞的值；
（2）求證：BN⊥平面C1MN．
以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的坐標系C-xyz，
（1）依題意，A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），B（0，1，0），
∴
BA1
=（1，-1，2），
CB1
=（0，1，2），
∴
BA1
•
CB1
=1×0+（-1）×1+2×2=3，
又|
BA1
|=
6
，|
CB1
|=
5
，
∴cos＜
BA1
，
CB1
＞=
BA1
•
CB1
|
BA1
|•|
CB1
|
=
30
10
…6分
證明：（2）A1（1，0，2），C1（0，0，2），B1（0，1，2），N（1，0，1），
∴M（
1
2
，
1
2
，2），∴
C1M
=（
1
2
，
1
2
，2），
C1N
=（1，0，-1），
BN
=（1，-1，1），
∴
C1M
•
BN
=
1
2
×1+
1
2
×（-1）+1×0=0，同理可求
C1N
•
BN
=0，
∴
C1M
⊥
BN
，
C1N
⊥
BN
，C1M∩C1N=C1，
∴BN⊥平面C1MN…12分．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖,在三棱柱ABCA′B′C′中,點E、F、H、K分別為AC′、CB′、A′B、B′C′的中點,G為△ABC的重心,從K、H、G、B′中取一點作為P,使得該棱柱恰有2條棱與平面PEF平行,則P為(　　)

A.K                B.H         C.G               D.B′

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

下列命題中：
（1）、平行于同一直線的兩個平面平行；（2）、平行于同一平面的兩個平面平行；
（3）、垂直于同一直線的兩直線平行；（4）、垂直于同一平面的兩直線平行.
其中正確的個數(shù)有_____________。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

正方體ABCD－A1B1C1D1中，在所有的棱、面對角線、體對角線中，與AB垂直的線段的條數(shù)是（　　）
A．7條B．12條C．16條D．18條

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．
（1）求證：AC⊥BC1；
（2）在AB上是否存在點D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，確定D點位置并說明理由，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知
a
=（2，-1，3），
b
=（-1，4，-2），
c
=（3，2，λ），若
a
、
b
、
c
三向量共面，則實數(shù)λ等于（　�。�
A．2B．3C．4D．5

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

三棱錐P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
13
，PB=
29
，求PC與AB所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點．
（1）求
BN
的模；
（2）求異面直線BA1與CB1所成角的余弦值；
（3）求證：A1B⊥C1M．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A⊥平面ABC，A1A=AB=AC，AB⊥AC，點D是BC上一點，且AD⊥C1D．
（1）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）求證：A1B∥平面ADC1；
（3）求二面角C-AC1-D大小的余弦值．

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