Question

8．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2，PD=AD=1，PD⊥底面ABCD．
（1）證明：PA⊥BD；
（2）求三棱錐D-PBC的體積．

Answer 1

分析 （1）在△ABD中，由已知結(jié)合余弦定理可得BD⊥AD，再由線面垂直的性質(zhì)可得BD⊥PD，由線面垂直的判定得到BD⊥平面PAD．從而可得PA⊥BD；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，代入體積公式求得棱錐D-PBC的體積．

解答 （1）證明：∵∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$AD，
從而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD．
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．
又AD∩PD=D，
∴BD⊥平面PAD．
故PA⊥BD．
（2）解：由（1）知：AD⊥BD，∴BC⊥BD，且BC=1．
在Rt△BCD中，S_△BCD=$\frac{1}{2}BC•BD$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵PD⊥底面ABCD，∴PD為三棱錐P-BCD的高，且PD=1
∴V_D-PBC=V_P-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•PD$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴三棱錐D-PBC的體積為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查線面垂直的性質(zhì)，考查了棱錐體積的求法，是中檔題．