Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1 a-2 (x-2)，(x≥a) 1 a-3 (x-3)，(x＜a)

，已知存在t₁，t₂使得f(t1)=

1

2

，f(t2)=

5

2

，則t₁-t₂的取值范圍是

(

3

2

，+∞)∪(-∞，-

3

2

)

．

Answer 1

分析：分a＜2，a＞3，2＜a＜3三種情況進(jìn)行討論：根據(jù)圖象的特殊點(diǎn)可作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象及函數(shù)單調(diào)性可表示出f(t1)=

1

2

，f(t2)=

5

2

，由此可得t₁-t₂的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a＜2時(shí)，作出f（x）的圖象如圖所示：
由圖象知，f(t1)=

1

2

可化為

t1-2

a-2

=

1

2

，得t1=

1

2

(a-2)+2=

1

2

a+1，f(t2)=

5

2

可化為

t2-3

a-3

=

5

2

，得t₂=

5

2

(a-3)+3=

5

2

a-

9

2

，
∴t₁-t₂=（

1

2

a+1）-（

5

2

a-

9

2

）=-2a+

11

2

，
又a＜2，∴-2a＞-4，∴-2a+

11

2

＞-4+

11

2

=

3

2

，即t₁-t₂＞

3

2

；
（2）當(dāng)a＞3時(shí)，作出f（x）的圖象如圖所示：
由圖象知，

t1-3

a-3

=

1

2

，得t1=

1

2

(a-3)+3=

1

2

a+

3

2

，f(t2)=

5

2

可化為5

t2-2

a-2

=

5

2

，得t2=

5

2

(a-2)+2=

5

2

a-3，
∴t₁-t₂=（

1

2

a+

3

2

）-（

5

2

a-3）=-2a+

9

2

，
又a＞3，∴-2a＜-6，-2a+

9

2

＜-

3

2

，即t₁-t₂＜-

3

2

；
（3）當(dāng)2＜a＜3時(shí)，
若x≥a，則

1

a-2

•(x-2)≥

1

a-2

•(a-2)=1；若x＜a，則

1

a-3

•(x-3)＞

1

a-3

•(a-3)=1，
與f(t1)=

1

2

不符，此種情況不可能；
綜上所述，t₁-t₂的取值范圍是：（

3

2

，+∞）∪（-∞，-

3

2

）．
故答案為：（

3

2

，+∞）∪（-∞，-

3

2

）．

點(diǎn)評：本題考查一次函數(shù)的求值問題，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，思維含量較高，正確畫出函數(shù)圖象是解決問題的關(guān)鍵．