Question

（本小題共12分）水庫的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為

V（t）＝

（Ⅰ）該水庫的蓄水量小于50的時(shí)期稱為枯水期.以i-1＜t＜i表示第i月份（i=1,2,…,12）,問一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計(jì)算）.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）枯水期為1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6個(gè)月.

(Ⅱ)一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米

【解析】

試題分析：（1）分段求出水庫的蓄求量小于50時(shí)x的取值范圍，注意實(shí)際問題x要取整．

（2）一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量肯定不在枯水期，則V（t）的最大值只能在（4，10）內(nèi)達(dá)到，然后通過導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間上研究V（t）的最大值，最后注意作答

解：（Ⅰ）①當(dāng)0＜t10時(shí)，V(t)=(-t²+14t-40)化簡得t²-14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②當(dāng)10＜t12時(shí)，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50,化簡得（t-10）（3t-41）＜0,

解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12　 .綜合得0<t<4,或10<t12,

故知枯水期為1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6個(gè)月.

(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）內(nèi)達(dá)到.

由V′（t）= 令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

當(dāng)t變化時(shí)，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：

t	(4,8)	8	(8,10)
V′(t)	+	0	-
V(t)		極大值

由上表，V(t)在t＝8時(shí)取得最大值V(8)＝8e²+50-108.52(億立方米).

故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米

考點(diǎn)：本題主要是考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識，考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題能力．

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是一元二次不等式的求解以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的思想來判定函數(shù) 單調(diào)性，進(jìn)而得到極值，求解最值。