Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，試求a，b的值，
（1）并求出f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）在區(qū)間[-2，2]上的最大值與最小值
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=α有3個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系求得a、b值，再利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用導數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的最大值與最小值即可；
（3）把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題解決即可．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=

1

3

，b=-

1

2

∴f（x）=x³-x²-x
∴f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈（-

1

3

，1）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-

1

3

），（1，+∞），減區(qū)間為：（-

1

3

，1）
（2）由（1）可得函數(shù)f（x）在[-2，-

1

3

）上是增函數(shù)，在[-

1

3

，1）上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)
且f（-2）=-10，f（-

1

3

）=

5

27

，f（1）=-1，f（2）=2
∴函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-2，+2]上的最大值f（2）=2
最小值為f（-2）=-10
（3）由（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-

1

3

），（1，+∞），減區(qū)間為：（-

1

3

，1），
∴當x=-

1

3

時，函數(shù)f（x）有極大值f（-

1

3

）=

5

27

，當x=1時，函數(shù)f（x）有極小值f（1）=-1，
∴若關(guān)于x的方程f（x）=α有3個不同實根，則必有-1＜a＜

5

27

．

點評：本題主要考查導數(shù)的應(yīng)用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，考查學生分析問題，解決問題的能力，屬難題．