Question

已知圓O的方程為x²+y²=2，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩切點(diǎn)，則

PA

•

PB

的最小值為（　�。�

• A．-6+4

  2

• B．-6-4

  2

• C．-8+4

  2

• D．-8-4

  2

Answer 1

分析：利用圓切線的性質(zhì)：與圓心切點(diǎn)連線垂直；設(shè)出一個(gè)角，通過解直角三角形求出PA，PB的長(zhǎng)；利用向量的數(shù)量積公式表示出

PA

•

PB

，利用三角函數(shù)的二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，
通過換元，再利用基本不等式求出最值．

解答：解：設(shè)PA與PO的夾角為a，則|PA|=|PB|=

2

tanα

．
設(shè)y=

PA

•

PB

=|PA|•|PB|cos2α=

2

tan2α

•cos2α=

cos2α

sin2α

•2cos2α=

1+cos2α

1-cos2α

•2cos2α．
記cos2α=u，．則y=2

u(u+1)

1-u

=2×[（-u-2）+

2

1-u

]=2×[-3+（1-u）+

2

1-u 2

]≥2（-3+2

2

），
∴

PA

•

PB

的最小值為-6+4

2

，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓切線的性質(zhì)、三角函數(shù)的二倍角公式、向量的數(shù)量積公式、基本不等式求函數(shù)的最值，屬于中檔題．