Question

如圖，是半圓的直徑，是半圓上除、外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，垂直于半圓所在的平面， ∥，，，．

⑴證明：平面平面；
⑵當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）要證明平面平面，需要通過其判定定理來得到，先證明平面，進(jìn)而得到。
（2）

試題分析：（Ⅰ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013002190396.png" style="vertical-align:middle;" />是直徑，所以            1分，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013002721429.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以                     2分，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013002783614.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面                 3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013002846593.png" style="vertical-align:middle;" />， ，所以是平行四邊形，，所以平面                                               4分，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013002970446.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面           5分
（Ⅱ）依題意，             6分，
由（Ⅰ）知
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立                    8分
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，，，             9分

設(shè)面的法向量為，，即，                  10分
設(shè)面的法向量為， ，即，                              12分
可以判斷與二面角的平面角互補(bǔ)
二面角的余弦值為。                    13分
點(diǎn)評：主要是考查了面面垂直和二面角的平面角的求解，屬于基礎(chǔ)題。