Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∠ABC=60°，PA⊥底面ABCD，E、F分別是BC、PC的中點，PA=AB=2．
（1）若H為PD上的動點，求EH與平面PAD所成的最大角的正切值；
（2）求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以AB所在直線為x軸，以AP所在直線為z軸，以過點A且與AB垂直的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得

EH

=（λ-

5

2

，

3

2

-

3

λ，2λ），易得平面PAD的一個法向量為

AE

=（

3

2

，

3

2

，0），設(shè)直線EH與平面PAD所成的角的角為θ，計算可得sinθ=|cos＜

EH

，

AE

＞|=

3

8(λ- 1 2 )2+5

，當(dāng)λ=

1

2

時，sinθ取得最大值為

3

5

，可得此時的正切的最值；
（2）可得

BD

=（-3，

3

，0）為平面AFC的法向量．又可求得

n

=（-1，

3

，-1）為平面AFE的法向量，可得法向量夾角的余弦值，可得結(jié)論．

解答：解：（1）以AB所在直線為x軸，以AP所在直線為z軸，以過點A且與AB垂直的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意，A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，

3

，0），從而E（

3

2

，

3

2

，0），D（-1，

3

，0），P（0，0，2），
設(shè)H（x，y，z），并設(shè)

DH

=λ

DP

，即（x+1，y-

3

，z）=λ（1，-

3

，2）
所以F（λ-1，

3

-

3

λ，2λ），所以

EH

=（λ-

5

2

，

3

2

-

3

λ，2λ），
由條件易證AE⊥平面PAD，所以平面PAD的一個法向量為

AE

=（

3

2

，

3

2

，0），
設(shè)直線EH與平面PAD所成的角的角為θ，則sinθ=|cos＜

EH

，

AE

＞|=|

EH • AE

| EH || AE |

|
=|

3 2 (λ- 5 2 )+ 3 2 ( 3 2 - 3 λ)

(λ- 5 2 )2+( 3 2 - 3 λ)2+4λ2 • 9 4 + 3 4

|=

3

8(λ- 1 2 )2+5

所以，當(dāng)λ=

1

2

時，sinθ取得最大值為

3

5

，從而cosθ=

2

5

，此時，tanθ=

3

2

=

6

2

（2）由條件易證BD⊥平面AFC，故取

BD

=（-3，

3

，0）作平面AFC的法向量．
設(shè)平面AFE的法向量為

n

=（x，y，z），則

n

⊥

AF

且

n

⊥

AE

，
所以，

1 2 x+ 3 2 y+z=0 3 2 x+ 3 2 y=0

，取y=

3

，則x=-1，z=-1，
即

n

=（-1，

3

，-1），設(shè)二面角E-AF-C的平面角為θ，由圖可知此二面角為銳二面角，
故cosθ=|cos＜

BD

，

n

＞|=|

BD • n

| BD || n |

|=|

3+3

12 5

|=

15

5

點評：本題考查向量法求解立體幾何問題，轉(zhuǎn)化為平面的法向量之間的夾角是夾角問題的關(guān)鍵，屬中檔題．