Question

已知函數(shù)f（x）定義在R上，對?x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），且f（0）≠0．
（1）求證：f（0）=1；
（2）求證：y=f（x）是偶函數(shù)；
（3）若存在常數(shù)c，使．①求證：對?x∈R，有f（x+c）=-f（x）；②求證：y=f（x）是周期函數(shù)．

Answer 1

解：（1）證明：∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）
令x=y=0得f（0）+f（0）=2f²（0），
又∵f（0）≠0
∴f（0）=1
（2）證明：在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）中，
令x=0得f（y）+f（-y）=2f（0）•f（y）=2f（y），
∴f（y）=f（-y）
∴f（x）是偶函數(shù)
（3）①在已知等式中把x換成，把y換成，且由得，
∴f（x+c）=-f（x）
②由=1 ①知對?x∈R，有f（x+c）=-f（x），
∴f（x+2c）=-f（x+c），代入得f（x+2c）=f（x），
∴f（x）是以T=2c為一個周期的周期函數(shù)．
分析：（1）令x=y=0代入恒等式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），求解即得．
（2）令x=0代入恒等式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y），整理即可得到f（y）=f（-y），可證得其為偶函數(shù)．
（3）①在恒等式中將x換成，把y換成，結(jié)合整理即得結(jié)論；②由①的結(jié)論f（x+c）=-f（x）可以得到f（x+c）=-f（x）=f（x-c），即得周期為2c．
點評：本題考點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查利用賦值的辦法求值即證明等式，此類題的特征是根據(jù)題中所給的相關(guān)性質(zhì)靈活賦值以達(dá)到求值或者證明命題的目的．本題綜合性較強(qiáng)，對觀察能力與靈活變形能力要求較高．