Question

給定橢圓C：，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為．
（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B，D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求的取值范圍；
（3）在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷l(xiāng)₁，l₂是否垂直？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓和其“準(zhǔn)圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程及其定義即可得出；
（2）先設(shè)出點(diǎn)B、D的坐標(biāo)并求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積得出，再利用點(diǎn)B在橢圓上即可得出其取值范圍；
（3）通過分類討論，假設(shè)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P作直線與橢圓相切，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出直線是否滿足兩條直線垂直的條件即可．
解答：解：（1）由題意可得：，，b=1，∴r==2．
∴橢圓C的方程為，其“準(zhǔn)圓”的方程為x²+y²=4；
（2）由“準(zhǔn)圓”的方程為x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取點(diǎn)A（2，0）．
設(shè)點(diǎn)B（x，y），則D（x，-y）．
∴=（x-2，y）•（x-2，-y）=，
∵點(diǎn)B在橢圓上，∴，∴，
∴==，
∵，∴，
∴，即的取值范圍為
（3）①當(dāng)過準(zhǔn)圓上點(diǎn)P的直線l與橢圓相切且其中一條直線的斜率為0而另一條斜率不存在時(shí)，則點(diǎn)P為，此時(shí)l₁⊥l₂；
②當(dāng)過準(zhǔn)圓上的點(diǎn)P的直線l的斜率存在不為0且與橢圓相切時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x，y），直線l的方程為m（y-y）=x-x．
聯(lián)立消去x得到關(guān)于y的一元二次方程：
，
∴-=0，
化為，
∵，m存在，∴m₁m₂=．
∵點(diǎn)P在準(zhǔn)圓上，∴，∴，
∴m₁m₂═-1．
即直線l₁，l₂的斜率，因此當(dāng)過準(zhǔn)圓上的點(diǎn)P的直線l的斜率存在不為0且與橢圓相切時(shí)，直線l₁⊥l₂．
綜上可知：在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，l₁⊥l₂．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其定義、向量的數(shù)量積、直線與橢圓相切問題時(shí)聯(lián)立直線與橢圓的方程得出根與系數(shù)的關(guān)系、兩條直線垂直的條件是解題的關(guān)鍵．