Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，PB⊥AC，AD⊥CD，且AD=CD=2

2

，PA=2，點M在線段PD上．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角M-AC-D的大小為45°，試確定點M的位置．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出PA⊥AC，PA⊥AB，從而得到AC⊥平面PAB，由此能證明AB⊥平面PAC．
（Ⅱ）建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，利用向量法能證明點M為線段PD的中點．

解答： （Ⅰ）證明：因為PA⊥平面ABCD，AC，AB?平面ABCD，
所以 PA⊥AC，PA⊥AB，…（2分）
又因為PB⊥AC，PA⊥AC，PA，PB?平面PAB，PA∩PB=P，
所以AC⊥平面PAB，…（3分）
又因為AC⊥平面PAB，AB?平面PAB，
所以AC⊥AB，…（4分）
因為AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
所以AB⊥平面PAC．…（6分）
（Ⅱ）因為PA⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BA⊥AC，
建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz．
則A（0，0，0），C（0，4，0），D（-2，2，0），P（0，0，2），

PD

=(-2，2，-2)，

AC

=(0，4，0)，
設(shè)M（x，y，z），

PM

=t

PD

，則（x，y，z-2）=t（-2，2，-2），
故點M坐標為（-2t，2t，-2t），

AM

=(-2t，2t，2-2t)，…（8分）
設(shè)平面MAC的法向量為

n1

=（x，y，z），則

AC • n1 =0 AM • n1 =0

，…（9分）
所以

4y=0 -2tx+2ty+(2-2t)z=0

，
令z=1，則

n1

=（

1-t

t

，0，1）．…（10分）
又平面ACD的法向量

n2

=（0，0，1），
所以cos45°=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2

2

，解得t=

1

2

，
故點M為線段PD的中點．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角為45°時點的位置的確定，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．